JobArrangerの一般設定からZabbixに通知を行う内容には何か基準などはあるのでしょうか。（例.○○が発生したら通知がされる、実行結果のステータスが××の時は通知されないなど）
JobArrangerからZabbixへの通知は、サーバ側のログメッセージ定義ファイルにおいて、通知対象として設定されているメッセージが出力された場合に行われます。
なお、当該ファイルはJobArranger Serverがインストールされているサーバ上に配置されています。
設定内容は以下のファイルで確認できます。
/etc/jobarranger/local/server_logmessage_64BIT.txt
各ログメッセージには通知フラグ（notice_flag）が設定されており、通知フラグが「1」に設定されているメッセージが出力された場合に、Zabbixへの通知が行われます。
例えば、以下の設定の場合、
JAICONRESULTNORMAL000001,0, 0 ,In %s(), job execution err. ...
3番目の項目（notice_flag）が「0」のため、本メッセージが出力されてもZabbixへは通知されません。
一方、以下のように変更した場合、
JAICONRESULTNORMAL000001,0, 1 ,In %s(), job execution err. ...
3番目の項目（notice_flag）が「1」となるため、本メッセージが出力された際にZabbixへの通知対象となります。
設定変更後は、以下のコマンドでJobArrangerサーバを再起動してください。
systemctl restart jobarg-server
また、Job実行先のスクリプトファイルでエラーが発生した際に「リターンコード8を返す」処理はJobの異常終了として捉えられるのでしょうか？
スクリプト実行時にリターンコード（終了コード）8を返した場合、そのままではJobの異常終了として認識されません。
もし、捉えられない場合には、捉えられようにする設定はあるのか、もしくは「○○の形式に処理を変更することでエラーとして認識できる」といった代替案をご教示ください。
Jobアイコンの設定にある「ジョブ停止コード」に、異常終了として扱いたい終了コードを設定してください。
例えば、「ジョブ停止コード」に「8」または「1-255」を設定することで、リターンコード8を返した場合に当該ジョブを異常終了（エラー）として判定できます。